La Continuité en un point

Définition

La continuité en un point est un concept fondamental en calcul. Une fonction \( f \) est dite continue en un point \( X_0 \) de son domaine si les trois conditions suivantes sont remplies :

1. \( f(X_0) \) est définie.
2. La limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( X_0 \) existe, c’est-à-dire \( \lim_{x \to X_0} f(x) \) existe.
3. La limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( X_0 \) est égale à la valeur de la fonction en ce point, c’est-à-dire \( \lim_{x \to X_0} f(x) = f(X_0) \).

Exemples

Exemple 1: Considérons la fonction \( f(x) = 2x + 1 \).

Pour vérifier la continuité en \( x = 1 \) :

1. \( f(1) = 2(1) + 1 = 3 \).
2. Calculons la limite lorsque \( x \) tend vers 1 :

\( \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3 \)

Comme \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 3 \), \( f(x) \) est continue en \( x = 1 \).

Exemple 2: Considérons la fonction \( f(x) = x^2 \).

Pour vérifier la continuité en \( x = 2 \) :

1. \( f(2) = 2^2 = 4 \).
2. Calculons la limite lorsque \( x \) tend vers 2 :

\( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2) = 2^2 = 4 \)

Comme \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 4 \), \( f(x) \) est continue en \( x = 2 \).

Exercices

Exercice 1: Déterminez si la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est continue en \( x = 1 \).

Exercice 2: Vérifiez si la fonction \( g(x) = x^3 – 3x + 2 \) est continue en \( x = -1 \).

Correction

Pour l’Exercice 1: La fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est définie pour \( x = 1 \) et \( f(1) = 1 \).

La limite lorsque \( x \) tend vers 1 est :

\( \lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1 \)

Comme \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 1 \), \( f(x) \) est continue en \( x = 1 \).

Pour l’Exercice 2: La fonction \( g(x) = x^3 – 3x + 2 \) est définie en \( x = -1 \) et \( g(-1) = (-1)^3 – 3(-1) + 2 = 4 \).

La limite lorsque \( x \) tend vers -1 est :

\( \lim_{x \to -1} g(x) = (-1)^3 – 3(-1) + 2 = 4 \)

Comme \( \lim_{x \to -1} g(x) = g(-1) = 4 \), \( g(x) \) est continue en \( x = -1 \).

continuité en \( X_0 \).